จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบคือ 1.ระบบจำนวนจริง (Real Number System) 2.ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System) สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้
จำนวนเชิงซ้อน
ระบบจำนวนจริงระบบจำนวนจินตภาพ
จำนวนตรรกยะจำนวนอตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนเศษส่วน
จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มศูนย์จำนวนเต็มบวก 1.จำนวนจินตภาพ(Imaginary Number)เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์ พยายามแก้ไขปัญหาในค่าx จากสมการx2 + 1 = 0 x2=-1 x=±Ö- 1 แต่เนื่องจากÖ- 1มิใช่จำนวนจริงนักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมายÖว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์iแทนÖ-1 ดังนั้นi2=-1 2.จำนวนตรรกยะ(Rational Number) คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่b ¹0จำนวนตรรกยะจำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ๆคือ 1.จำนวนเต็ม(Integer) 2.เศษส่วน(Fraction) 3.ทศนิยม(Repeating decimal) 3.จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ ส่วนa/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่b ¹0หรือจำนวน อตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ 1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น 2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465 หมายเหตุpซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้วpเป็นเลข อตรรกยะ สิ่งที่ควรทราบ
จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน 4.จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number)เขียนแทนด้วยz โดยที่z = (a,b) จะได้ว่าz=a + biเมื่อi=Ö-1i2 = -1
เรียก a ว่าเป็นส่วนจำนวนจริงของจำนวนเชิงซ้อนz b ว่าเป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนz 4.1การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน ให้z1 = a + biและz2=c + di ดังนั้นz1=z2ก็ต่อเมื่อa = cและb = d 4.2การบวกจำนวนเชิงซ้อน ให้z1 = a + biและz2=c + di ดังนั้นz1 + z2=(a+c) + (b+d)i 4.3การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง ให้z1 = a + biและkเป็นจำนวนจริง kz=ka + kbi 4.4การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน ให้z1 = a + biและz2=c + di z1 z2 = (a + bi)( c + di)=(ac - bd , ad+bc) ตัวอย่างจงหาผลคูณของ3 + 4iกับ2 + i วิธีทำ(3 + 4i)( 2 + i )=6 +3i + 8i + 4i2 =6 + 11i - 4=2 + 11i 4.5คอนจูเกต(conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยz ถ้าz = a + biแล้วz=a - bi 4.6การแก้สมการที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน สมการอยู่ในรูปax2 + bx + c = 0เมื่อa ¹0 ในกรณีนี้ให้ใช้สูตร
x=- b ±Ö b2- 4ac 2a 4.7ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนa + bi ให้z = a + biค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของz คือ z =Ö a2+b2 ทดสอบความเข้าใจ ข้อ 1.ถ้าZ = (3+2 Ö-5)(3-Ö-5)แล้วZมีค่าเท่ากับข้อใด -5i ข้อ 2.รากของสมการX4 - 2X3 + 12X2 - 8X+ 32 = 0คืออะไร เฉลย ข้อ 1.ตอบZ=-3Ö5-19 i 55 ข้อ 2.ตอบX = ± 2iหรือX =1±Ö7i |
