Untitled Document
เรื่อง
สมการกำลังสอง
โดย
อ. วาสนา อวดทอง
สมการกำลังสอง   

              สมการกำลังสอง   หมายถึง  สมการที่เขียนในรูป   ax2 + bx + c = 0   เมื่อ  a, b, c  เป็นค่าคงตัว  และ  a  ไม่เท่ากับ  0

บทนิยามของสมการกำลังสอง  


                  สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ทำได้โดยอาศัยการแยกตัวประกอบ หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b
ตัวอย่าง         จงหาคำตอบของสมการ   x2 – 32x + 31              =          0

                                                   x2 – 32x + 31              =          0

                                                   ( x2– 31 ) ( x – 1 )       =          0

        ดังนั้น      x – 31       =    0             หรือ         x – 1     =    0

                                 x       =    31            หรือ               x    =    1

            คำตอบของสมการคือ  31 และ 1

ตัวอย่าง           จงหาคำตอบของสมการ              x2+ 5x + 6          =      0

                                         x2 + 5x + 6                =       0

                                         ( x + 2 ) ( x + 3 )        =       0

                ดังนั้น      x + 2 = 0  หรือ   x + 3 = 0

                                x = -2  หรือ  x = -3

                คำตอบของสมการคือ  -2 และ -3



   

                  ในการแก้สมการบางครั้ง ถ้านำค่าคงตัวมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการ จะช่วยให้การแยกตัวประกอบเพื่อหาคำตอบของสมการทำได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง                จงแก้สมการ     -6x2 + 12x – 6      =     0

                     -6x2 + 12x – 6      =   0

นำ -6 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้

                x2– 2x + 1             =    0

            ( x – 1 ) ( x – 1 )       =   0

ดังนั้น   x – 1                       =    0

                    x                          =    0

            คำตอบของสมการคือ 1

 ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ      1.5x2       =    7.7x - 1

           1.5x2 -  7.7x + 1      =            0

                นำ 10 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ  จะได้

                                 15x2 – 77x + 10           =    0

                                ( 15x – 2 ) ( x - 5 )         =    0

                ดังนั้น  15x – 2 = 0 หรือ  x – 5 =  0

                                x =  เศษ 2 ส่วน 15 หรือ 5

                คำตอบของสมการคือ  เศษ 2 ส่วน 15 และ 5



   

                   การหาคำตอบของสมการกำลังสองในรูป  ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณี c มีค่าเป็น 0 ใช้สมบัติการแจกแจง

ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ         15x2 – 10x          =      0

                                   15x2 – 10x           =     0

                                                           5x2 ( 3x – 2 )        =    0

               ดังนั้น   5x  =  0  หรือ  3x  – 2 =  0

                x = 0  หรือ  x = เศษ 2 ส่วน 3

        คำตอบของสมการคือ  0 และ เศษ 2 ส่วน 3



     

                  การหาคำตอบของสมการกำลังสอง ในรูป ax + bx + c = 0 เมื่อ a , b ,c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณีที่ c มีค่าเป็น 0 การแก้สมการกำลังสองที่ได้รูปทั่วไปเป็น x2 = c  เมื่อ c > 0   x2 – c = 0

ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ    x2  – 169                      =             0

                                                    x2 -  132                                 =             0

                                                  ( x – 13 ) ( x + 13 )         =           0

                    ดังนั้น      x – 13 = 0  หรือ x + 13 = 0

                                    x = 13 หรือ x = -13

                          คำตอบของสมการคือ  13 และ -13

 ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ  4x2  =   16

                                             4x2  - 16                   =         0

                                              ( 2x )2 – 42              =         0

                                            ( 2x – 4 ) ( 2x + 4 )   =         0  

                    ดังนั้น    2x  – 4  =  0   หรือ   2x + 4   =  0

                   x = เศษ 4 ส่วน 2   หรือ  x =   - เศษ 4 ส่วน 2

                                x = 2 หรือ x = -2

                คำตอบของสมการคือ  2 และ -2




      

                   การแก้สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น     x2 = c เมื่อ  c > 0

ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ    ( 2x – 3 )2                           =                16

                                          ( 2x  - 3 )2  - 16               =                0

                   ( 2x  - 3 )2  - 42                   =               0

                                     ( 2x – 3 – 4 ) ( 2x – 3 + 4 )  =               0

                                     ( 2x + 1 ) ( 2x– 7 )               =                0

       ดังนั้น    2x + 1 = 0  หรือ  2x – 7   = 0

                2x  = -1  หรือ   2x   =  7

                x = - เศษ 1 ส่วน หรือ  x = เศษ 7 ส่วน 2

คำตอบของสมการคือ  - เศษ 1 ส่วน และ เศษ 7 ส่วน 2

     

การแก้สมการกำลังสอง
1.โดยวิธีแยกตัวประกอบ
สมบัติที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง
( x - 3 ) ( x + 4 ) = 0
ดังนั้น x - 3 = 0 หรือ
x = 3 หรือ
x = 3 , -4

ตัวอย่าง
( 2x - 5 ) ( 3x - 6 ) = 0
ดังนั้น 2x - 5 = 0 หรือ 3x - 6 = 0
x = เศษ 5 ส่วน 2 หรือ x = เศษ 6 ส่วน 3
x = 2
x = เศษ 5 ส่วน 2 , 2



2.โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
การแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a,b,c เป็นค่าคงตัวและ a ไม่เท่ากับ 0 โดยจัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
จากการแก้สมการ เราใช้วิธีทำทางขวามือของสมการให้เท่ากับ 0 และทางซ้ายมือของสมการ เราพยายามทำให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบกำลังหนึ่ง โดยวิธีแยกตัวประกอบ แต่บางครั้งการแยกตัวประกอบทางซ้ายมือของพหุนาม คำตอบจะอยู่ในรูปที่สลับซับซ้อนมาก จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการหาคำตอบ


ตัวอย่าง
จงแก้สมการ x2 + 2x + 3 = 0
x2 + 2x + 3 = 0
x2+ 2x + 12 - 12 + 3 = 0
( x + 1 )2 - 1 + 3 = 0
( x + 1 )2 + 2 = 0
เนื่องจาก ( x + 1 )2 > 0 เสมอ ดังนั้น ( x + 1 )2 + 2 > 0 เสมอ
แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้ ( x + 1 )2 + 2 = 0
สรุป ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

หลักในการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
1. จัดสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0
2 .กรณีที่ a ไม่เท่ากับ 1 ให้นำ a หารตลอด
3. จัดสมการทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
4. จัดสมการทางซ้ายมือต่อจาก ข้อ 3 โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง แล้วแยกตัวประกอบ
5. ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 แล้วหาค่าของตัวแปร

3.โดยใช้สูตร
- ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมี 2 คำตอบ
- ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมีเพียงคำตอบเดียว
- ถ้า b2- 4ac < 0 คำตอบของสมการดังกล่าวจะไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

 

      
แบบฝึกหัด สมการกำลังสอง  


         1.  ( x + 1 ) ( x + 2 )                =  0

         2.  ( x -3 ) ( x – 4 )                  =  0

         3.  ( 2x + 1 ) ( 3x – 2 )            =  0

         4.  ( 5x – 1 ) ( 6x – 4 )             =   0

         5.  x2 + 4x + 3                         =   0

         6.   x2 + 7x + 12                      =   0

         7.   x2 – 4x + 3                         =  0

         8.   x2 – 7x +  6                        =  0

         9.   x2 + 2x – 3                         =  0

         10.  x2 + x – 6                          =  0

         11.  x2 – 2x – 3                        =  0

         12.  x2– 5x – 6                         =  0

         13.  2x2 + x – 15                      =  0

         14.  6x2– 11x – 10                   =  0

         15.  -25x2 + 10x + 15              =   0

          16.  ( x – 6 )2 – 4                     =  0

          17.  ( 3x + 15 )2 – 25               =  0

ที่มา  :  
www.tmr.ac.th/4-2/2_019/main.html - 3k

   
Copyright by Chiangmai Thepbodint School